邓煜：芝加哥大学数学系教授。他的研究主要聚焦于非线性色散方程与波动方程、流体动力学、调和分析、偏微分方程中的概率方法以及统计物理学。他于2007年至2009年期间曾就读于北京大学，2011年获得麻省理工学院数学学士学位，2015年获得普林斯顿大学数学博士学位。他获得了众多杰出荣誉，包括MCA奖（2025）、斯隆研究奖（2021）、波特·奥格登·雅各布斯奖学金（2015）、威廉·洛厄尔·普特南奖学金（2010），以及国际数学奥林匹克竞赛金牌（2006）。
问：当今数学研究的主要方向是什么？
答：AMS（美国数学学会）的Mathematics Subject Classification列出了60个左右的分支，大致也就是分析/概率、代数/数论、几何/拓扑这几大块。我的工作方向主要在PDE（偏微分方程）上。
简单来说，PDE的研究对象是由多元函数或向量场等（例如空间密度函数或流体的速度场）描述的，满足一定物理规律（如Einstein方程或Schrodinger方程等）的系统。PDE发展到如今，已经能够回答许多经典问题，并对某些简单的方程给出完整刻画。当然未解问题也还有很多。传统的分析视角（基于线性和多线性估计，以及对守恒律与单调律等方程结构的利用）经过一个世纪的发展已经相当完善，但单一视角或许存在其固有的局限性。
问：数学领域还有哪些“未解之谜”？解决它们需要什么样的突破？
答：所谓“未解之谜”还是有很多的。比如克雷（Clay）著名的七大千禧年问题目前就只解决了一个。这里简单介绍一下和分析/概率相关的两个问题。
Navier-Stokes方程的整体适定性：Navier-Stokes方程是流体力学中最基本的方程之一，而其是否对任意光滑初值存在整体光滑解，也是最基本的问题之一。这一问题长期未解决的原因是其“超临界”性，即方程可能在小尺度上产生奇性（比如解在某一点处趋于无穷）；而已知的分析工具（能量不等式等）在这类问题上并不能给出足够的估计。
Yang-Mills量子场论的构造：这一问题涉及Yang-Mills场论的量子化的构造及其性质（如mass gap）的证明。从分析和概率角度（存在不同视角如拓扑量子场论，限于篇幅这里不展开），需要构造的是某个无穷维联络空间上，形式上由Yang-Mills泛函定义的概率测度。
问：数学与当今热门技术如AI、量子技术的关系是什么？
答：我简单解释一下数学与AI的关系。我对量子技术了解不多，但如果量子计算能够突破并实用化，或将带来算法和算力的双重飞跃，对数学研究也可能产生深刻的影响。
简单来说，存在着所谓“Math for AI”和“AI for Math”的两个研究方向。前者关注（神经网络等）AI技术的数学基础，本质上在试图回答“为什么神经网络用来近似任意函数能够如此有效”这一问题。就我所知的范围，目前这一方向尚缺少重大的突破性进展，受到的关注也相对较少。
同时，“AI for Math”最近则受到了数学界和AI学界的高度关注。在这方面，近几年的进展大致可分为以下几类：
（1）用AI寻找PDE可能的近似解（profile），并结合区间算术与计算机辅助证明来严格构造方程的特殊解。
（2）用AI进行“数学实验”，从已知结果与数据中寻找规律，并以此为基础寻求已有结果的改进，或进一步总结出一般结论并证明。在此方向，AlphaEvolve团队的论文报告了在各不同领域取得的进展。
（3）AI自动证明。目前各主流大语言模型均有一定书写数学证明的能力，各大AI企业也在同时研发专用于数学证明的模型。就目前而言，这些大模型的能力似乎足以解决一般的数学竞赛级别题目，对部分较困难的题目则需依赖更强的算力。
（4）AI自动形式化，即用大模型将自然语言书写的数学证明转化为Lean等形式语言，从而自动验证其正确性。这一目标比起自动证明似乎更简单些，但如能实用化将大大简化数学界的审稿流程。同样地，目前大模型的能力似乎局限于在人类提供部分帮助下，形式化一些篇幅较短的证明（如最近Math Inc.的智能体Gauss成功形式化了素数定理的证明）。
问：基础数学研究与算力、算法的关系？
答：就目前而言，AI（算法和算力）的发展对基础数学的影响仍较为有限。主要原因是，当前AI for Math依然局限于特殊领域的特殊问题（如寻找PDE的近似解）与一般领域的简单问题（最近AI帮助解决了数个Erdos问题，但多数情况下AI所做的仍是从文献中发掘已有的证明，而非原创证明）。
随着将来AI算法和算力的进一步发展，当AI工具的能力足以真正在数学研究中发挥一定作用时，基础数学的研究方式亦可能随之改变。到那时（如果有的话）AI是会作为研究助手还是独立研究者存在，人类数学家又将扮演怎样的角色，目前还不得而知。
问：对于当代青少年来说，数学素养应包含哪些要点？
答：对一般青少年的期望自然与对专业数学家不同，我也非数学教育方面专家，只能从个人角度尝试讨论一些重点。
（1）逻辑：逻辑可谓人类思维中最重要的部分之一，它不仅是数学的基础，也在日常生活与决策中起到重要作用。当然并非生活中所有问题都可简化为逻辑判断，但良好的逻辑素养能使人形成良好的直觉，后者在很多情况下都是大有助益的。
（2）统计：在当代乃至近未来，每个人接触到的信息量会越来越大，这就需要从大量信息中总结提取最重要和有用的部分。同样，这里的“统计”未必指向具体理论，而是一种“掌握宏观趋势，而不被微观个例所迷惑”的直觉。
（3）分析：在分析学中，最重要的能力之一是从某个整体的不同部分贡献中分离主要与次要成分。这一点对普通人也有着重要意义：对一件复杂事物，如何抓住起主要作用的因素，并对其进行控制以达到想要的结果。此外，也包括如何分析事物的变化趋势等等。
（4）结构化：相对于分析学，代数学的重点则是“抽象”或“结构化”，即在本质相同的不同事物间建立联系。显然这点在生活中也是相当重要的：其有助于看清不同事物的本质并作出相应的决策。
总之，数学素养不同于数学知识或数学能力，但对数学的了解有助于获得良好的数学素养。以此为目标该如何对青少年进行教育和培养，尚有待数学教育专家的研究。
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